উৎপাদকে বিশ্লেষণ (৪.৪)

অষ্টম শ্রেণি (মাধ্যমিক ২০২৫) - গণিত বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগ | - | NCTB BOOK

5.6k

উৎপাদক : যদি কোনো বীজগণিতীয় রাশি দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল হয়, তাহলে শেষোক্ত রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথম রাশির উৎপাদক বা গুণনীয়ক (Factor) বলা হয়। যেমন,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b),$ এখানে

$(a + b)$ ও

$(a - b)$ রাশি দুইটি

$(a^{2} - b^{2})$ এর উৎপাদক।

উৎপাদকে বিশ্লেষণ : যখন কোনো বীজগণিতীয় রাশিকে সম্ভাব্য দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলরূপে প্রকাশ করা হয়, তখন একে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা বলে এবং ঐ রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত রাশির উৎপাদক বলা হয়। যেমন, $x 2 + 2 x = x (x + 2)$ [ এখানে $x$ ও $(x + 2)$ উৎপাদক] উৎপাদক নির্ণয়ের নিয়মগুলো নিচে দেওয়া হলো :

(ক) সুবিধামতো সাজিয়ে :

$p x - q y + q x - p y$ কে সাজানো হলো, $p x + q x - p y - q y$ রূপে।

এখন, $p x + q x - p y - g y = x (p + q) - y (p + q) = (p + q) (x - y) .$

আবার, $p x - q y + q x - p y$ কে সাজানো হলো, $p x - p y + q x - q y$

এখন, $p x - p y + q x - y = p (x - y) + q (x - y) = (x - y) (p + q) .$

(খ) একটি রাশিকে পূর্ণ বর্গ আকারে প্রকাশ করে :

$x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} = {(x)}^{2} + 2 \times x \times 2 y + {(2 y)}^{2}$

$= {(x + 2 y)}^{2} = (x + 2 y) (x + 2 y)$

(গ) একটি রাশিকে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করে এবং $a^{2} - b^{2}$ সূত্র প্রয়োগ করে :

$a^{2} + 2 a b - 2 b - 1$

$= a + 2 a b + b^{2} - b^{2} - 2 b - 1$ [এখানে b2 একবার যোগ এবং একবার বিয়োগ করা হয়েছে। এতে রাশির মানের কোনো পরিবর্তন হয় না]

$= (a^{2} + 2 a b + b^{2}) - (b^{2} + 2 b + 1)$

$= {(a + b)}^{2} - {(b + 1)}^{2}$

$= (a + b + b + 1) (a + b - b - 1)$

$= (a + 2 b + 1) (a - 1)$

বিকল্প নিয়ম :

$a^{2} + 2 a b - 2 b - 1$

$= (a^{2} - 1) + (2 a b - 2 b)$

$= (a + 1) (a - 1) + 2 b (a - 1)$

$= (a - 1) (a + 1 + 2 b)$

$= (a - 1) (a + 2 b + 1)$

(ঘ) $x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ সূত্রটি ব্যবহার করে :

$x^{2} + 7 x + 10 = x^{2} + (2 + 5) x + 2 \times 5$

$= (x + 2) (x + 5)$

(ঙ) একটি রাশিকে ঘন আকারে প্রকাশ করে :

$8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27$

$= (2 x)^{3} + 3 \times (2 x)^{2} \times 3 + 3 \times 2 x \times (3)^{2} + (3)^{3}$

$= (2 x + 3)^{3}$

$= (2 x + 3) (2 x + 3) (2 x + 3)$

(চ) $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ এবং $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

সূত্র দুইটি ব্যবহার করে :

$8 x^{3} + 125 = (2 x)^{3} + (5)^{3} = (2 x + 5) (2 x)^{2} - (2 x) \times 5 + (5)^{2}$

$= (2 x + 5) (4 x^{2} - 10 x + 25)$

$27 x^{3} - 8 = (3 x)^{3} - (2)^{3} = {(3 x - 2) {(3 x)^{2} + (3 x) \times 2 + (2)^{2}}$

$= (3 x - 2) (9 x^{2} + 6 x + 4)$

উদাহরণ ১। $27 x^{4} + 8 x y^{3}$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $27 x^{4} + 8 x y^{3} = x (27 x^{3} + 8 y^{3})$

$= x {(3 x)^{3} + (2 y)^{3}}$

$= x (3 x + 2 y) {(3 x)^{2} - (3 x) \times (2 y) + (2 y)^{2}}$

$= x (3 x + 2 y) (9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2})$

উদাহরণ ২। $24 x^{3} - 81 y^{3}$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $24 x^{3} - 81 y^{3} = 3 (8 x^{3} - 27 y^{3})$

$= 3 {(2 x)^{3} - (3 y)^{3}}$

$= 3 (2 x - 3 y) {(2 x)^{2} + (2 x) \times (3 y) + (3 y)^{2}}$

$= 3 (2 x - 3 y) (4 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})$

কাজ : উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর : ১। $4 x^{2} - y^{2}$ ২। $6 a b^{2} - 24 a$ ৩। $x^{2} + 2 p x + p^{2} - 4$ ৪। $x^{3} + 27 y^{3}$ ৫। $27 a^{3} - 8$