উৎপাদকে বিশ্লেষণ (৪.৪)

অষ্টম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - গণিত - বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগ | NCTB BOOK

12.6k

Summary

উৎপাদক: কোন বীজগণিতীয় রাশি যদি দুই বা তার বেশি রাশির গুণফল হয়, তাহলে সে রাশির গুণনীয়ক বা উৎপাদক বলে। উদাহরণ: a²-b²=(a+b)(a-b)।

উৎপাদকে বিশ্লেষণ: যখন বীজগণিতীয় রাশিকে দুই বা তার বেশি রাশির গুণফলরূপে প্রকাশ করা হয়, সেটাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ বলা হয়। উদাহরণ: x²+2x=x(x+2)।

উৎপাদক নির্ণয়ের নিয়ম:

(ক) সুবিধামতো সাজিয়ে: px-qy+qx-py কে সাজাতে হবে।
(খ) পূর্ণ বর্গ আকারে প্রকাশ: x²+4xy+4y² = (x+2y)²।
(গ) বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ: a²-b² সূত্র প্রয়োগ। উদাহরণ: a²+2ab-2b-1 কে বিশ্লেষণ করা।
(ঘ) x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b) সূত্রের ব্যবহার। উদাহরণ: x²+7x+10 = (x+2)(x+5)।
(ঙ) ঘন আকারে প্রকাশ: 8x³+36x²+54x+27 = (2x+3)³।
(চ) কিউবের সূত্র ব্যবহার: a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)।

উদাহরণ:

১. 27x⁴+8xy³ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ: x(3x+2y)(9x²-6xy+4y²)।
২. 24x³-81y³ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ: 3(2x-3y)(4x²+6xy+9y²)।

কাজ: উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

4x²-y²
6ab²-24a
x²+2px+p²-4
x³+27y³
27a³-8

উৎপাদক : যদি কোনো বীজগণিতীয় রাশি দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল হয়, তাহলে শেষোক্ত রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথম রাশির উৎপাদক বা গুণনীয়ক (Factor) বলা হয়। যেমন, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b),$ এখানে $(a + b)$ ও $(a - b)$ রাশি দুইটি $(a^{2} - b^{2})$ এর উৎপাদক।

উৎপাদকে বিশ্লেষণ : যখন কোনো বীজগণিতীয় রাশিকে সম্ভাব্য দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলরূপে প্রকাশ করা হয়, তখন একে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা বলে এবং ঐ রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত রাশির উৎপাদক বলা হয়। যেমন, $x 2 + 2 x = x (x + 2)$ [ এখানে $x$ ও $(x + 2)$ উৎপাদক] উৎপাদক নির্ণয়ের নিয়মগুলো নিচে দেওয়া হলো :

(ক) সুবিধামতো সাজিয়ে :

$p x - q y + q x - p y$ কে সাজানো হলো, $p x + q x - p y - q y$ রূপে।

এখন, $p x + q x - p y - g y = x (p + q) - y (p + q) = (p + q) (x - y) .$

আবার, $p x - q y + q x - p y$ কে সাজানো হলো, $p x - p y + q x - q y$

এখন, $p x - p y + q x - y = p (x - y) + q (x - y) = (x - y) (p + q) .$

(খ) একটি রাশিকে পূর্ণ বর্গ আকারে প্রকাশ করে :

$x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} = {(x)}^{2} + 2 \times x \times 2 y + {(2 y)}^{2}$

$= {(x + 2 y)}^{2} = (x + 2 y) (x + 2 y)$

(গ) একটি রাশিকে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করে এবং $a^{2} - b^{2}$ সূত্র প্রয়োগ করে :

$a^{2} + 2 a b - 2 b - 1$

$= a + 2 a b + b^{2} - b^{2} - 2 b - 1$ [এখানে b2 একবার যোগ এবং একবার বিয়োগ করা হয়েছে। এতে রাশির মানের কোনো পরিবর্তন হয় না]

$= (a^{2} + 2 a b + b^{2}) - (b^{2} + 2 b + 1)$

$= {(a + b)}^{2} - {(b + 1)}^{2}$

$= (a + b + b + 1) (a + b - b - 1)$

$= (a + 2 b + 1) (a - 1)$

বিকল্প নিয়ম :

$a^{2} + 2 a b - 2 b - 1$

$= (a^{2} - 1) + (2 a b - 2 b)$

$= (a + 1) (a - 1) + 2 b (a - 1)$

$= (a - 1) (a + 1 + 2 b)$

$= (a - 1) (a + 2 b + 1)$

(ঘ) $x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ সূত্রটি ব্যবহার করে :

$x^{2} + 7 x + 10 = x^{2} + (2 + 5) x + 2 \times 5$

$= (x + 2) (x + 5)$

(ঙ) একটি রাশিকে ঘন আকারে প্রকাশ করে :

$8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27$

$= (2 x)^{3} + 3 \times (2 x)^{2} \times 3 + 3 \times 2 x \times (3)^{2} + (3)^{3}$

$= (2 x + 3)^{3}$

$= (2 x + 3) (2 x + 3) (2 x + 3)$

(চ) $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ এবং $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

সূত্র দুইটি ব্যবহার করে :

$8 x^{3} + 125 = (2 x)^{3} + (5)^{3} = (2 x + 5) (2 x)^{2} - (2 x) \times 5 + (5)^{2}$

$= (2 x + 5) (4 x^{2} - 10 x + 25)$

$27 x^{3} - 8 = (3 x)^{3} - (2)^{3} = {(3 x - 2) {(3 x)^{2} + (3 x) \times 2 + (2)^{2}}$

$= (3 x - 2) (9 x^{2} + 6 x + 4)$

উদাহরণ ১। $27 x^{4} + 8 x y^{3}$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $27 x^{4} + 8 x y^{3} = x (27 x^{3} + 8 y^{3})$

$= x {(3 x)^{3} + (2 y)^{3}}$

$= x (3 x + 2 y) {(3 x)^{2} - (3 x) \times (2 y) + (2 y)^{2}}$

$= x (3 x + 2 y) (9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2})$

উদাহরণ ২। $24 x^{3} - 81 y^{3}$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $24 x^{3} - 81 y^{3} = 3 (8 x^{3} - 27 y^{3})$

$= 3 {(2 x)^{3} - (3 y)^{3}}$

$= 3 (2 x - 3 y) {(2 x)^{2} + (2 x) \times (3 y) + (3 y)^{2}}$

$= 3 (2 x - 3 y) (4 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})$

কাজ : উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর :

১। $4 x^{2} - y^{2}$ ২। $6 a b^{2} - 24 a$ ৩। $x^{2} + 2 p x + p^{2} - 4$ ৪। $x^{3} + 27 y^{3}$ ৫। $27 a^{3} - 8$

Content added || updated By

Rezwan Siddiki Tamim

বীজগণিতীয় সূত্রাবলি অনুশীলনী ৪.১ ঘনফলের সূত্রাবলি ও অনুসিদ্ধান্ত ঘনফলের সাথে সম্পৃক্ত আরও দুইটি সূত্র অনুশীলনী ৪.২

উৎপাদকে বিশ্লেষণ (৪.৪)

Summary

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!

উৎপাদকে বিশ্লেষণ (৪.৪)

Summary

All Notifications

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!